Steenrod operations in Ext

This page documents some Steenrod operations I calculated with the Ext resolver. The results are expressed in terms of the basis one finds here. These are intended to be complementary to Bruner's calculations.

For some of them, I also express the result in terms of Bruner's basis.

I believe the current implementation of the algorithm has huge room for improvement. Once such improvements have been made (or I have decided such improvements cannot be made), I will start systematically documenting all Steenrod operations within reach. If anyone is interested in any particular Steenrod operation not documented above, I can (attempt to) calculate it on demand.

The two main bottlenecks of the procedure is as follows:

• The first step of the algorithm involves finding a Yoneda representative of the relevant class. The size of the Yoneda representative directly and significantly affects the runtime of the rest of the algorithm, so it is crucial to find one that is as small as possible.

Any minimal Yoneda representative would be a quotient of the minimal resolution of $\mathbb{F}_2$. Currently, the algorithm starts with the minimal resolution and iteratively quotients out elements that are not needed based on some heuristics. Improving these heuristics can potentially lead to much smaller representatives. At the moment the classes at $(t - s, s) = (69, 4)$ and $(41, 10)$ are examples where the algorithm performs extermely poorly.

• Currently, applying Steenrod operations on tensor product of modules is extremely slow, as the coproduct in the Steenrod algebra has a lot of terms. One possible way around this is to pre-compute the action of the $Sq^{2^n}$ using the coproduct, and then all other actions can be computed by decomposing the elements as a product of indecomposables. It is not clear to me whether this is actually beneficial, but it might be worth trying.

# $tmf$

 Name $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $h_0$ $h_1$ $h_0^2$ $h_1$ $h_2$ $h_1^2$ $h_2$ $0$ $h_2^2$ $c_0$ $0$ $h_2 \beta$ $h_0 e_0$ $0$ $\alpha$ $0$ $0$ $\gamma$ $\alpha^2$ $\beta$ $0$ $0$ $0$ $\beta^2$ $w_1$ $g$ $0$ $0$ $0$ $w_1^2$ $d_0$ $0$ $0$ $\beta^2$ $0$ $d_0^2$ $e_0$ $0$ $0$ $0$ $\beta g$ $e_0^2$ $g$ $0$ $0$ $0$ $0$ $g^2$ $\gamma$ $0$ $0$ $0$ $0$ $h_2 w_2$ $\gamma^2$ $\delta$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $w_2 h_2 \beta$ $w_2 h_2 d_0$ $0$ $w_2$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $w_2^2$

# $S_2$

## $s = 3$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $c_0$ 8 $[1]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[1]$ $c_1$ 19 $[1]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[0, 1]$ $c_2$ 41 $[1]$ $[1]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[0, 1]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $c_0$ 8 $[1]$ $c_1$ $f_0$ $h_0 e_0$ $h_1^2 d_0$ $c_1$ 19 $[1]$ $c_2$ $f_1$ $h_1 e_1$ $h_1 x$ $c_2$ 41 $[1]$ $c_3$

## $s = 4$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $f_0$ 18 $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[0]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[]$ $p'$ 69 $[1]$ $[1, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 1, 1, 1]$ $[0, 0, 0, 1]$ $[0, 1, 0]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $f_0$ 18 $[1, 1]$ $f_1$ $0$ $Y$ $h_3 r$ $0$ $p'$ 69 $[1]$

## $s = 5$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Ph_1$ 9 $[1]$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $Ph_2$ 11 $[1]$ $[]$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[1, 0]$ $[1]$ $n$ 31 $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[0, 1]$ $[1, 0, 1]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0, 0]$ $x$ 37 $[1]$ $[1]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 1, 1, 0]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $D_1$ 52 $[1]$ $[1]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[0]$ $[0]$ $H_1?$ 62 $[1, 0, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 1, 1, 1]$ $[0, 1, 0, 0, 1]$ $[1, 1, 1, 0, 1, 1]$ $[0, 1, 0, 1, 1]$ $[1, 1, 1, 0, 0]$ $Q_3?$ 67 $[1, 0]$ $[1, 0]$ $[0, 1]$ $[0, 0, 1]$ $[1, 0]$ $[0, 1]$ $[1]$ $n_1$ 67 $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[0, 1]$ $[0, 1, 0]$ $[0, 1]$ $[1, 0]$ $[0]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $n$ 31 $[0, 1]$ $n_1$ $r_1$ $h_2 h_5 n + h_3 D_2$ $h_2^2 D_2 + h_3 Q_2$ $h_1 x_{8, 32} + h_5 d_0 f_0$ $0$ $x$ 37 $[1]$ $x_1$ $0$ 1 $x^2$ $D_1$ 52 $[1]$ 2 3 $0$ $0$ $H_1?$ 62 $[1, 0, 0]$ $Q_3?$ 67 $[1, 0]$ $n_1$ 67 $[1, 1]$

1  This is not $h_0^2$-divisible

2  This is not $h_1$-divisible

3  This is not $h_0$-divisible

## $s = 6$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $r$ 30 $[1]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 1, 0]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $C$ 50 $[1]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $[1]$ $[0, 0, 1]$ $[1, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $G$ 54 $[1]$ $[1]$ $[1, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0, 1, 0]$ $[1, 0, 0]$ $[]$ $[]$ $D_2$ 58 $[1]$ $[]$ $[1, 0]$ $[1]$ $[0]$ $[0, 1, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 1]$ $A?$ 61 $[1, 0]$ $[0, 1, 0, 0]$ $[0, 1, 1, 0, 0]$ $[1, 0, 0, 1, 0, 0]$ $[1, 1, 0, 0, 0]$ $[0, 1, 0, 1, 1]$ $[0, 0, 0, 1, 1]$ $[1, 0, 1]$ $A'?$ 61 $[0, 1]$ $[1, 0, 1, 0]$ $[0, 1, 0, 1, 1]$ $[1, 0, 0, 0, 0, 1]$ $[1, 1, 1, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 1, 0]$ $[0, 0, 1, 1, 0]$ $[1, 1, 1]$ $A''$ 64 $[1]$ $[1]$ $[0, 1, 0]$ $[1, 1, 1, 1, 0]$ $[0, 1, 0, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 1, 0, 1, 1]$ $[0, 0, 0, 0, 0]$ $r_1$ 66 $[1]$ $[0, 1]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0, 0]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $r$ 30 $[1]$ $r_1$ $0$ $0$ $0$ $h_1 X_1 + x_{10, 27} + x_{10, 28}$ 4 $0$ $r^2$ $C$ 50 $[1]$ $0$ $h_1 h_3 x_{8, 80}$ $h_0^3 x_{8, 93}$ $0$ $G$ 54 $[1]$ $0$ $0$ $r_1$ 66 $[1]$ $r_2$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$

4  We identify $x_{10, 27}$ and $x_{10, 28}$ uniquely as follows — $x_{10, 28}$ is the unique non-zero element whose $h_0$ and $h_1$ products are both divisible by $h_2$, and $x_{10, 27} + x_{10, 28}$ has zero $h_2$ multiplication

## $s = 7$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Pc_0$ 16 $[1]$ $[1]$ $[1]$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $[1]$ $j$ 26 $[1]$ $[]$ $[0]$ $[1, 1]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $k$ 29 $[1]$ $[1, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[0]$ $[1]$ $l$ 32 $[1]$ $[1]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $m$ 35 $[1]$ $[1, 0, 0, 1]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[]$ $[0]$ $[1, 0, 1]$ $[1, 1, 1]$ $B_1$ 46 $[1]$ $[1, 0, 0]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[0, 1, 0, 0]$ $[1, 0, 0]$ $B_2?$ 48 $[0, 1]$ $[1, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0, 1, 1]$ $[1, 1, 1]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[0, 1, 0]$ $[1, 0]$ $Q_2$ 57 $[1]$ $[1, 0]$ $[0]$ $[1]$ $[1, 0, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0]$ $[1, 0]$ $[0, 0, 1]$ $B_3$ 60 $[1]$ $[0, 0, 1, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0, 0, 0]$ $[1, 0, 1, 0, 0]$ $[1, 0, 0, 0, 0]$ $[1, 0, 0, 0, 0]$ $[1, 1, 0]$ $[0]$ $[0, 0]$ ?? 63 $[0, 1, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[1, 0, 1, 1, 1]$ $[0, 1, 1, 1, 1]$ $[0, 0, 0, 0, 1]$ $[0, 1, 1, 0, 0, 1]$ $[1, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 1, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0]$ ?? 63 $[0, 0, 1]$ $[0, 1, 1]$ $[1, 1, 1, 1, 1]$ $[1, 0, 0, 1, 1]$ $[1, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 1, 1, 1]$ $[0, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 1, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0]$ ?? 66 $[0, 1]$ $[0, 1, 1, 0]$ $[1, 0, 1]$ $[1, 1]$ $[0, 1, 1, 0, 1]$ $[1, 0, 1, 0, 1, 1]$ $[1, 0, 1, 0, 0]$ $[1, 0, 1, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 1, 0]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Pc_0$ 16 $[1]$ $h_1^2 P^2 d_0$ $h_0 P^2 e$ $h_0 x_{11, 7}$ $0$ $0$ $h_2 d_0 g$ $h_0^2 Y$ $h_1 Y$ $j$ 26 $[1]$ $0$ $0$ $h_0^2 Q_2$ $0$ $j^2$ $k$ 29 $[1]$ $0$ $h_1 x_{8, 32} + h_5 d_0 f_0$ $0$ $0$ $k^2$ $l$ 32 $[1]$ $h_1 G_{21}$ $h_3 X_1$ $h_0^2 x_{9, 40}$ $0$ $gw$ $l^2$ $m$ 35 $[1]$ $m_1$ $0$ $h_3 G_{21}$ $0$ $0$ $m^2$

## $s = 8$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Pd_0$ 22 $[1]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $Pe_0$ 25 $[1]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[0, 1]$ $[0, 1]$ $[0]$ $[1]$ $[1]$ ?? 46 $[1]$ $[0, 1, 0, 0]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $[1]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0]$ ?? 62 $[0, 1, 0]$ $[1, 1, 1, 0, 1]$ $[0, 0, 0, 1, 0]$ $[1, 0, 0, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 1, 1, 1]$ $[1, 1, 0, 1, 1]$ $[1, 1, 1, 1, 1]$ $[0, 1, 1, 1]$ $[0, 0, 0, 0, 1]$ $[1, 0, 1, 0, 0]$ ?? 62 $[0, 0, 1]$ $[0, 0, 0, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 1, 0, 0, 1]$ $[0, 1, 0, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 1]$ $[0, 1, 0, 0, 1]$ $[1, 0, 1, 0, 0]$

## $s = 9$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $P^2h_1$ 17 $[1]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $P^2h_2$ 19 $[1]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[1, 0]$ $[1]$ $u$ 39 $[1]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[1, 0]$ $[]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $[0, 1]$ $[1, 0, 0]$ $[1, 0, 1]$ $v$ 42 $[1]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[1]$ $[1, 0]$ $[1, 0]$ $[0, 1, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 1, 0]$ $w$ 45 $[1]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[0]$ $[1, 1]$ $[0]$ $[1, 0, 1]$ $[0, 1, 1]$ ?? 60 $[0, 1]$ $[1, 0, 0, 1]$ $[0, 0, 0, 1]$ $[0, 1, 0, 0]$ $[1, 0, 1, 0, 0]$ $[0, 0, 1, 0, 1]$ $[0, 1, 0, 1, 1]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 0, 0, 1]$ $[0, 0, 1]$ ?? 61 $[1]$ $[1, 0, 1, 1, 0]$ $[1, 0, 0, 0, 1]$ $[0, 1, 0, 1, 0, 1]$ $[1, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 1, 1, 0]$ $[0, 0, 0, 0]$ $[1, 1, 1, 0, 1]$ $[1, 0, 0, 1, 1]$ $[1, 1, 1, 0]$ $[0, 0, 1]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $u$ 39 $[1]$ $0$ $0$ $0$ $u^2$

## $s = 10$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $z$ 41 $[1]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[0]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[1, 0, 1]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 1, 0]$ $[1, 1]$ $[1]$ ?? 53 $[1]$ $[]$ $[0]$ $[0, 1]$ $[0, 0]$ $[1, 0]$ $[1, 0, 1, 0]$ $[0, 1, 0, 0]$ $[1, 0]$ $[0]$ $[1, 0, 1]$ $[0, 1, 0]$ ?? 54 $[1, 0]$ $Q_1?$ 56 $[0, 1]$ ?? 59 $[1]$ ?? 62 $[0, 1, 0]$ ?? 62 $[0, 0, 1]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $z$ 41 $[1]$ $0$ $0$ $0$ $0$ $h_0^2 x_{12, 51}$ $0$ $g^2 N$ $h_0 d^2 r$ $z^2$

## $s = 11$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $P^2 c_0$ 24 $[1]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $[1]$ ?? 34 $[1]$ $[0]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[1, 0]$ $[1]$ $[0, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$

## $s = 12$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $P^2 d_0$ 30 $[1]$ $[1]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 1, 1]$ $[0]$ $[1]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $P^2 e_0$ 33 $[1]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[1, 0]$ $[1]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0, 1]$ $[0]$ $[1]$ $[1]$

### Name

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $P^2 d_0$ 30 $[1]$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $P^2 e_0$ 33 $[1]$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$

## $s = 13$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $Sq^{13}$ $P^3 h_1$ 25 $[1]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $P^3 h_2$ $27$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[1, 0]$ $[1]$ ?? 47 $[1, 0]$ ?? 47 $[0, 1]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0, 1]$ $[0, 0, 1, 0]$ ?? 50 $[1]$

## $s = 15$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $Sq^{13}$ $Sq^{14}$ $Sq^{15}$ $P^3 c_0$ 32 $[1]$ $[0]$ $[]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $[1]$ $P^2 i$ 39 $[1]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[1, 0, 1]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 0, 0]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[1]$ $[0]$ $[0]$ $[0, 1]$ $[1]$ ?? 42 $[1]$ $[0]$ $[]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $[1, 0]$ $[1, 0]$ $[1, 0]$ $[0]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[1, 0]$ $[1, 1]$ $[1]$ ?? 54 $[1, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[1, 0]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[0, 1]$ $[1, 0, 0]$ $[1, 0, 0]$ $[1, 0]$

## $s = 16$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $Sq^{13}$ $Sq^{14}$ $Sq^{15}$ $Sq^{16}$ $P^3 d_0$ 38 $[1]$ $[0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0]$ $[0, 1]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 0, 0]$ $[0]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[0]$ $[1]$ $P^3 e_0$ 41 $[1]$ $[]$ $[0]$ $[1, 0]$ $[1, 1]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[1]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[0, 1]$ $[0]$ $[1]$ $[1]$ ?? 53 $[1, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 1, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[1, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[0, 0]$ $[1]$ $[1]$

## $s = 17$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $Sq^{13}$ $Sq^{14}$ $Sq^{15}$ $Sq^{16}$ $Sq^{17}$ $P^4 h_1$ 33 $[1]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $P^4 h_2$ 35 $[1]$ $[0]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[1, 0]$ $[1]$ ?? 55 $[1]$ $[0, 0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[]$ $[0, 0, 0]$ $[1, 0, 0, 0]$ $[0, 1, 1]$ $[0, 0]$ $[1, 1]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 1]$ $[1, 0]$ $[0, 1, 0]$ $[1, 1, 0]$

## $s = 19$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $Sq^{13}$ $Sq^{14}$ $Sq^{15}$ $Sq^{16}$ $Sq^{17}$ $Sq^{18}$ $Sq^{19}$ $P^4 c_0$ 40 $[1]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[]$ $[0]$ $[0]$ $[]$ $[]$ $[1]$ $[1]$ $[1]$ ?? 50 $[1]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0]$ $[0, 0, 0]$ $[0, 0, 1]$ $[1, 0]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[0, 1]$ $[1, 0, 0]$ $[1, 0, 0]$ $[1, 0]$ $[1]$ $[1]$ $[1, 0]$ $[1, 0]$ $[1]$ $[1, 1]$ $[1, 1]$ $[1]$

## $s = 20$

### Basis

 Name $t - s$ class $Sq^0$ $Sq^1$ $Sq^2$ $Sq^3$ $Sq^4$ $Sq^5$ $Sq^6$ $Sq^7$ $Sq^8$ $Sq^9$ $Sq^{10}$ $Sq^{11}$ $Sq^{12}$ $Sq^{13}$ $Sq^{14}$ $Sq^{15}$ $Sq^{16}$ $Sq^{17}$